Bienvenue sur la page de l'ACI JC 1041

"Mouvements d'interfaces avec termes non-locaux"
L'ACI a pris officiellement fin le 29 juin 2006
Le rapport est disponible ici

Membres :

Samuel Biton, Université de Tours
Pierre Cardaliaguet, Université de Brest
Olivier Ley, Université de Tours
Jean-Pierre Lohéac, Ecole centrale de Lyon
Elisabeth Rouy (responsable), Ecole centrale de Lyon

Membres associés :

Nathael Alibaud, Université de Montpellier 2
Olivier Alvarez, Université de Rouen
Guy Barles, Université de Tours
Sebastien Collin, Ecole centrale de Lyon
Christine Georgelin, Université de Tours
Cyril Imbert, Université de Montpellier 2
Régis Monneau, CERMICS, École nationale des ponts et chaussées
Aurélien Monteillet, Université de Brest
Ali Srour, Université de Tours

Présentation générale

Nous nous intéressons à des problèmes d'évolutions de surfaces intervenant dans de nombreux domaines : évolution de l'interface entre deux phases en transitions de phases, combustion, mécanique des fluides, description du comportement asymptotique d'équations ou de systèmes d'équations de réaction-diffusion (Allen-Cahn par exemple). On trouve en outre des applications de ces modèles jusqu'en finance mathématique, ou plus généralement en contrôle optimal stochastique. Enfin, mentionnons les applications à la géométrie ou au traitement d'images pour le lissage ou la détection de contours.

Lorsque la dépendance de la vitesse d'évolution par rapport à l'ensemble peut s'exprimer, par exemple, via les caractéristiques locales de la surface (comme la normale ou la courbure), le mouvement est dit local.

Exemples de mouvements dits locaux:

- l'évolution de fronts de flamme avec vitesse normale constante;

- le mouvement par courbure moyenne qui est un modèle simplifié de croissance de cristaux ; il décrit aussi le comportement asymptotique de l'équation d'Allen-Cahn.

Dans le cas où la vitesse d'évolution dépend de paramètres ``globaux'' de l'ensemble (comme le volume par exemple), le mouvement est dit non-local et c'est ce genre de problèmes qui nous motivent.

Exemples de mouvements non-locaux :

- le mouvement par courbure moyenne à volume constant qui formalise par exemple le mouvement d'interface pour des liquides incompressibles ;

- le modèle de Hele-Shaw qui décrit l'expansion d'un liquide confiné entre deux plaques, est très utilisé dans le moulage par injection en industrie plastique ;

- le problème de Stephan.

Modélisation mathématique et objectifs

Notre objectif est d'étudier des évolutions d'hypersurfaces de Rⁿ, décrites à chaque instant t comme la frontière d'un ouvert O_t et vérifiant, en tout temps t et en tout point x de la frontière, l'équation

V = h(t,x, O_t ),

où V est la vitesse normale de O_t au point x à l'instant t et où la fonction h est la loi de l'évolution. La dépendance par rapport à l'ensemble O_t peut être locale (normale ou courbure par exemple) mais nous cherchons plus généralement à traiter des cas non-locaux (h dépend du volume de O_t par exemple).

Nos objectifs sont les suivants :

1. Etude générale des mouvements préservant l'inclusion : Existence en temps long de solutions généralisées, unicité, propriétées qualitatives des solutions (régularité, comportement asymptotique, etc.).

2. Aspects numériques

3. Mouvements plus généraux : mouvements dépendant du passé, mouvements par courbure cristalline, évolutions ne préservant pas l'inclusion.

---> Une liste de références sur le sujet

Rencontres et colloques de l'ACI

Lundi 24 juillet - Vendredi 28 juillet 2006 : Participation des membres de l'ACI à la onférence New trends in Viscosity Solutions à Lisbonne.
Dimanche 25 juin - Mercredi 28 juin 2006 : Session spéciale Shapes and free boundaries co-organisée par Pierre Cardaliaguet pendant la 6ème Conférence AIMS "Systèmes Dynamiques, Equations Différentielles et Applications" à Poitiers.
Mardi 7 mars - Mercredi 8 mars 2006 : Rencontre des ACI "mouvements d'interfaces non-locaux" et "Dynamique des dislocations" à l'École des Ponts et Chaussées (Paris).
Lundi 12 décembre - Vendredi 16 décembre 2005 : School-Workshop "Moving boundaries 2005" à l'Université de Lyon 1
organisé par les ACI "mouvements d'interfaces non-locaux" et "Dynamique des dislocations".
Jeudi 13 octobre - Vendredi 14 octobre 2005 : Rencontre de l'ACI à la faculté des sciences de Tours.
Jeudi 10 mars - Vendredi 11 mars 2005 : Rencontre de l'ACI à la faculté des sciences de Tours.
Jeudi 17 juin - Vendredi 18 juin 2004 : Colloque commun des ACI "mouvements d'interfaces non-locaux" et "Dynamique des dislocations" à l'Université de Rouen.
Lundi 29 mars - Mercredi 31 mars 2004 : Rencontre de l'ACI à la faculté des sciences de Tours.
Lundi 12 janvier - Mardi 13 janvier 2004 : Rencontre de l'ACI à la faculté des sciences de Tours.
Lundi 8 décembre - Mardi 9 décembre 2003 Rencontre de l'ACI à la faculté des sciences de Tours.
Lundi 27 octobre - Mardi 28 octobre 2003 : Rencontre de l'ACI à la faculté des sciences de Tours.
Lundi 30 juin - Mercredi 2 juillet 2003 : Rencontre de l'ACI à la faculté des sciences de Tours.
Lundi 6 janvier - Mercredi 8 janvier 2003 : Rencontre de l'ACI à la faculté des sciences de Brest.

Publications dans le cadre du projet

[BCLM] G. Barles, P. Cardaliaguet, O. Ley et R. Monneau. General results for dislocation type equations.
En préparation.

[CL05] P. Cardaliaguet et O. Ley. On the energy of a flow arising in shape optimization.
Soumis. (Résumé)- (pdf)- (ps)

[BL] G. Barles et O. Ley. Nonlocal first-order Hamilton-Jacobi equations modelling dislocations dynamics.
Comm. Partial Differential Equations, 31 (8) : 1191-1208, 2006. (Résumé)- (pdf)- (ps)

[ACM] O. Alvarez, P. Cardaliaguet et R. Monneau. Existence and uniqueness for dislocation dynamics with nonnegative velocity.
Interfaces Free Bound.7 (2005), no. 4, 415--434. (pdf)

[AHLM] O. Alvarez, P. Hoch, Y. Le Bouar et R. Monneau. Dislocation dynamics: short time existence and uniqueness of the solution.
Archive for Rational Mechanics and Analysis 181 (3), (2006), 449-504.

[CL05] P. Cardaliaguet et O. Ley. On some flows in shape optimization.
Arch. Rational Mech. Anal. 183 (1), 2006. (Résumé)- (pdf)- (ps)

[CR] P. Cardaliaguet et E. Rouy. Viscosity solutions of Hele-Shaw moving boundary problem for power-law fluid.
To appear in SIAM Math. Anal. (pdf)

[CC] P. Cannarsa et P. Cardaliaguet. Representation of equilibrium solutions to the table problem for growing sandpiles.
J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 6 (2004), no. 4, 435--464. (pdf) -(ps)

[BCL] S. Biton, P. Cardaliaguet et O. Ley. Non fattening condition for the generalized evolution by mean curvature and applications.
Soumis. (Résumé)- (pdf)- (ps)

[I] C. Imbert. Some regularity results for anisotropic motion of fronts
Differential and Integral Equations 15 (2002) 1263-1271.

[BBL] G. Barles, S. Biton, O. Ley. A geometrical approach to the study of Unbounded solutions of quasilinear equations in R^N.
Arch. Rational Mech. Anal. 162 (2002) 287-325. ( Résumé)- (pdf)- (ps)

[CP] P. Cardaliaguet, D. Pasquignon. On the approximation of front propagation problems with non local terms.
RAIRO Model. Math. Anal. Numer., 35, No.3 (2001) 437-462.

[DL] A .S. Demidov, J.-P . Lohéac. A quasi-contour model of the Stokes-Leibenson problem for Hele-Shaw flows.
MAPLY, prépublication No.328 (2001).

[Ca01] P. Cardaliaguet. Front propagation problems with nonlocal terms II.
J. Math. Anal. Appl., 260 (2001) 572-601.

[Ca00] P. Cardaliaguet. On front propagation problems with non local terms.
Adv. Differential Equations, 5, No.1-3 (2000) 213-268.

Une liste de publications diverses des membres du groupe :

---> publications des membres de l'ACI

Liens utiles

Le projet ACI "Dynamique des dislocations" . Responsable : Régis Monneau (CERMICS, École des ponts et chaussées).

Le groupe de travail sur les solutions de viscosité

Le TMR "Solutions de viscosité et leurs applications" : ce réseau associant plusieurs universités européennes travaillant dans le domaine est terminé mais les préprints sont toujours disponibles sur le site.